\section{Переход к разностной схеме}
  Для моделирования процессов с непрерывным временем на ЭВМ нужно
  перейти к разностной схеме.
  
Пусть процесс описывается уравнениями:

\begin{equation}
 \begin{array}{lll}\\
 dx=Axdt+dv \\
  dy=Cxdt+de
\label{l7_1}
\end{array}.
\end{equation}
\\



  $x \in \mathbb{R}^n$ - вектор состояния,  $y \in \mathbb{R}^m$ - вектор наблюдения\\
  $\{v(t),t \in T\}$ - n-мерный  винеровский процесс с ковар.
  $Edv(dv)^T=R_1dt$\\
  $\{e(t),t \in T\}$ - m-мерный  винеровский процесс с ковар.
  $Ede(de)^T=R_2dt$\\
  Процессы $v(t)$ и $e(t)$ независимы.
  Процесс $e(t)$ можно считать ошибкой измерения.\\
  Докажем, что выходные переменные $y$ в дискретные моменты
  времени $t_1...t_n...$. Получим уравнения связи между
  переменными состояния $x$ и наблюдения $y$.\\
  Проинтегрируем решение уравнения:
  \begin{equation}
  x(t_{i+1})=\Phi(t_{i+1},t_i)x(t_i)+\widetilde{v}(t_i)
  \end{equation}
  \begin{equation}
  y(t_{i+1})=y(t_i)+\int\limits_{t_i}^{t_{i+1}} dy(s) =
  y(t_i)+\int\limits_{t_i}^{t_{i+1}} e(s)\Phi(s,t_i)ds x(t_i)+\widetilde{e}(t_i)
  \end{equation}
$\Phi$ - фундаментальная матрица:
\begin{equation}
\left\{ \begin{array}{lll}
\frac{d \Phi(t,t_i)}{dt} = A(t)\Phi(t,t_i) \ \ \ \ \ \ \ t_i \leq t \leq t_{i+1}\\
\Phi(t_i,t_i)=I
\end{array}
\right.
\end{equation}
и
\begin{equation}
\widetilde{v}(t_i)=\int_{t_i}^{t_{i+1}} \Phi(t_{i+1},t)dv(t)
\end{equation}

\begin{equation}
\widetilde{e}(t_i)=\int\limits_{t_i}^{t_{i+1}}
e(s)\int\limits_{t_i}^{s}
\Phi(s,t)dv(t)ds+\int\limits_{t_i}^{t_{i+1}} de(s)
\end{equation}
Изменим порядок интегрирования:\\
\begin{equation*}
\int\limits_{t_i}^{t_{i+1}} e(s)\int\limits_{t_i}^{s}
\Phi(s,t)dv(t)ds = \int\limits_{t_i}^{t_{i+1}}
\int\limits_{t}^{t_{i+1}} e(s)\Phi(s,t)dsdv(t)
=\int\limits_{t_i}^{t_{i+1}} \Theta(t_{i+1},t)dv(t)
\end{equation*}
где

\begin{equation}\Theta(t_{i+1},t)=\int\limits_{t}^{t_{i+1}}
e(s)\Phi(s,t)ds \label{l7_2}
 \end{equation}.\\
Таким образом
\begin{equation}
\widetilde{e}(t_{i+1}) = \int\limits_{t_i}^{t^{i+1}}
\Theta(t_{i+1},t)dv(t)+e(t_{i+1})-e(t_i)
\end{equation}

Используя свойства стохастического интеграла получим, что
$\widetilde{v}(t_i)$ и $\widetilde{e}(t_k)$ независимы при $i \neq
k$, а также:\\
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
% 7a
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

\begin{equation}
\left\{ \begin{array}{lll}\\
E\widetilde{v}(t_i) = E \int\limits_{t_i}^{t_{i+1}}
\Phi(t_{i+1},t)dv(t)=0\\
E\widetilde{e}(t_i)=E\left( \int\limits_{t_i}^{t_{i+1}}
\Theta(t_{i+1},t)dv(t)+e(t_{i+1})-e(t_i) \right)=0 \label{l7_3}
\end{array} \right.
\end{equation}

\begin{equation}
\left\{ \begin{array}{lll}\\
E\widetilde{v}(t_i)\widetilde{v}^T(t_i) = &E\left(
\int\limits_{t_i}^{t_{i+1}}\int\limits_{t_i}^{t_{i+1}}
\Phi(t_{i+1},t)dv(t)dv^T(s)\Phi^T(t_{i+1},s)\right)=\\
&=\int\limits_{t_i}^{t_{i+1}}\Phi(t_{i+1},t)R_1(t)\Phi^T(t_{i+1},t)dt\\


E\widetilde{v}(t_i)\widetilde{l}^T(t_i)=&E\left(
\int\limits_{t_i}^{t_{i+1}}\int\limits_{t_i}^{t_{i+1}}
\Phi(t_{i+1},t)dv(t)dv^T(s)\Theta^T(t_{i+1},s) \right)=\\
&=\int\limits_{t_i}^{t_{i+1}}\Phi(t_{i+1},t)R_1(t)\Theta^T(t_{i+1},t)dt\\



E\widetilde{e}(t_i)\widetilde{l}^T(t_i)=&E\left(
\int\limits_{t_i}^{t_{i+1}}\int\limits_{t_i}^{t_{i+1}}
\Theta(t_{i+1},t)dv(t)dv^T(s)\Theta^T(t_{i+1},s) + (e(t_{i+1})+e(t_i))^2\right)=\\
&=\int\limits_{t_i}^{t_{i+1}}\Theta(t_{i+1},t)R_1(t)\Theta^T(t_{i+1},t)dt+\int\limits_{t_i}^{t_{i+1}}R_2(t)dt\\

\label{l7_4}

\end{array} \right.
\end{equation}

Смешанные члены, содержащие $dl$ и $dv$, уничтожаются. Т.О.
справедлива\\
\textbf{Теорема.}\textit{Значение переменных состояния и
наблюдения системы стохастических дифференциальных уравнений
~\ref{l7_1} в моменты времени $t_i$ связаны стохастическими
разностными уравнениями:
\begin{equation}
x(t_{i+1})=\Phi x(t_i)+\widetilde{v}(t_i)\\
z(t_{i+1})=y(t_{i+1})-y(t_i)=\Theta x(t_i)+\widetilde{e}(t_i)
\label{l7_5}
\end{equation}
где $\Phi=\Phi(t_{i+1},t_i)$ - фундаментальная матрица,
$\Theta=\Theta(t_{i+1},t_i)$ определяемая из ~\ref{l7_2}\\
$\{\widetilde{v}(t_i),\ \ \ i=1,2...\}$ и $\{\widetilde{e}(t_i),\
\ \ i=1,2...\}$ - последовательности независимых нормальных
случайных величин с нулевым средним и ковариацей (\ref{l7_4})}
Разностные уравнения (\ref{l7_3}) называются выборочным вариантом
(\ref{l7_1}). Их свойства идентичны на интервалах выборки. Значит,
выборочный вариантможно использовать для аппроксимации системы с
непрерывным временем. Заметим, что $\widetilde{e}$ и
$\widetilde{v}$ могут быть независимы, даже если $e$ и $v$
зависимы.

